Conceptos básicos de Probabilidad
Definición de Probablilidad (Kolmogorov 1933)
Sea S un conjunto con cierto número de elementos (espacio de
muestras)
Sean A,B,…. Subconjutos de S:
Para todo subconjuto A de S puede definirse un número real P(A) al
que llamaremos probabilidad a partir de los siguientes tres axiomas:
∀A ⊂ S→ P(A) ≥ 0
Si A∩ B = 0→ P(A∪ B) = P(A)+ P(B)
P(S) =1
Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.
- Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada.
Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante. - Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.
Técnicas de Conteo
Para determinar el espacio muestral o el tamaño del espacio muestral, es necesario desarrollar
algunas técnicas de enumeración las cuales son:
- El Diagrama de Árbol
- Análisis Combinatorio.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas
de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un
método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.
A continuación, se presenta un Diagrama de Árbol, referente a las respuestas que se pueden dar a
tres preguntas de Verdadero o Falso.
Tenemos dos opciones posibles para cada pregunta, V o F el árbol presenta dos ramas en cada
pregunta.
1) La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor.
a) V b) F
2) G. Cantor es de origen francés.
a ) V b) F
3) La teoría de conjuntos sirve para simplificar la Estadística.
a) V b) F
Las diferentes formas en que se puede contestar son ocho y forman el espacio muestral.
S = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}
ANÁLISIS COMBINATORIO
Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puede
disponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues a
medida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar
otro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados. Con este fin, nos
apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el
principio fundamental del conteo.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede
ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos
eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.
El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es
decir, sea n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.
n! = n (n -1 ) (n -2 )...3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n1 x n2 x n3
10 x 9 x 8 = 720
2.- ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?
Solución:
Tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _. En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación nos da un total de 7 × 8^4 = 28672.
3.- Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?
Solución:
Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.
Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3^3 = 54.
Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3^4 = 81 números de esta forma.
Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.
4.- ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?
Solución:
Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5. En total hay 9 ×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.
Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay formulas(basadas en esos principios) que nos permiten hacer los cálculos de manera más rápida.
5.- Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden caer ambos dados simultáneamente es:
6x6 = 36.
6.- Considere el experimento consistente en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos exploratorios. El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco, 1: productor), el resultado del segundo, tercero y cuarto pozos también puede presentarse de 2 maneras. Entonces, el número de maneras en que puede observarse el conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos simultáneamente es:
2x2x2x2 = 16.
7.- Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: 10x10x10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 1000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa.
La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: 26x26x26 = 17,576.
Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es:
999x17,576 = 17’558,424
8.- ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?
5x3x4 = 60
9.- Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que ningún dígito se pueda repetir.
9.9.8.7.6.5 = 136.080
10.- Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.
¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?
2 x 2 x 1 x 10 x 10 x 2 = 800 placas
PERMUTACIONES
Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunoselementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con
los elementos del conjunto.
Nota: En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante.
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS
Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de nobjetos distintos tomados de n en n, es:
n! n Pn =! n Pn = n!
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS.
Podemos calcular el número de permutaciones nPr, de n elementos, tomados en grupos osubconjuntos de r elementos.
PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES.
Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí, es decir, algunos de los elementos
son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto.
El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1
elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etcétera, es:
PERMUTACIONES CIRCULARES
Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos:
n Pc = (n − 1)!
EJERCICIOS RESUELTOS:
hilera para tomar una fotografía.
3P3 = 3! = 6
2.- Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un
vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el
comité?
5P5 = 5! = 120
3.- Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis
banderas al mismo tiempo?
6P6 = 6! = 720
5.- ¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU?
6.- ¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero?
8.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
5Pc = (5 - 1)! = 4! = 24
7.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
7.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
8.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No importa el orden.
No entran todos los elementos.
No se repiten los elementos.
9.- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
10.- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
11.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
12.- ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
13.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
14.- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
15.- ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra JUAN? b) ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal?
a) Tenemos 4 elementos y nos piden de cuántas formas podemos ordenarlos. No hay repetición de elementos, el orden si importa y en la ordenación están todos los elementos. Se trata, por lo tanto, de permutaciones de 4 elementos (o dicho de otro modo: variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 4 en 4):
P 4! 4 3 2 1 24 4 = = ⋅ ⋅ ⋅ =
b) Para U _ _ _ , las ordenaciones son P 3! 6 3 = = y para A _ _ _ las ordenaciones son P 3! 6 3 = = . Entonces las ordenaciones que empiezan por vocal son las suma de las dos, es decir, 12.
16.- ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 3224531?
Solución:
El orden influye, luego no son combinaciones. En los grupos que se
forman están todos los elementos. Así que tenemos permutaciones. Y
como hay dígitos repetidos, las permutaciones son con repetición.
Entonces:
2,2,1,1,1 P 7 = 1260
17.- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.
18.- ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e quede junto a otra?
e _ e _ e _ e _ e
P4 = 4! = 24
19.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?
Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la permutación VI1SI2TI3NG sería distinta de VI2SI1TI3NG. Pero esto no es lo que queremos, en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las tres I pueden ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces.
Por lo tanto hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes.
P 15 = 15! = 1, 307, 674, 368, 000 maneras.
Ya sabemos que en una permutación el orden de los elementos es importante, pero cuando el orden
de colocación carece de importancia, a la disposición de dichos elementos se le denomina
combinación.
Por lo tanto, una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un
conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos.
El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que
pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es:
1.- Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?
Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los
elementos no es importante.
2.- En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
3.- Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen?
Existen
10 10! 10.9.8
C7 = --- = ------ = 120
7!3! 3.2.1
combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.
4.- Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
Hay
20 20!
C11 = ---- = 167.960
11!9!
formas de elegir a los 11 amigos.
5.- En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden intercambiarse, si entre cada 2 personas, se dan la mano una sola vez?
6 6! 6.5
C2 = ---- = --- = 15
2!4! 2
6.- Una persona que sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer: dispone de 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas formas puede hacer la elección si quiere llevar al menos una novela?
6
N C C C --> 4C3 = 80
4 6
N N C C --> C2C2 = 90
4
N N N C --> C36 = 24
N N N N --> 1
80 + 90 + 24 + 1 = 195
¿Cuántos bytes contienen
exactamente dos unos?
8 8!
C2 = --- = 28
2!6!
Ejemplo: 1 0 0 1 0 0 0 0
exactamente cuatro unos?
8 8!
C4 = --- = 70
4!4!
Ejemplo: 0 1 0 1 0 1 1 0
exactamente seis unos?
8 8!
C2 = --- = 28
6!2!
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 0 1
al menos seis unos?
8
28 + C7 + 1 = 28 + 8 + 1 = 37
(Sumamos los bytes con 6 unos, los
bytes con 7 unos y el byte con 8 unos)
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 1 1
7.- ¿De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro niños de modo que cada niño reciba tres libros.
12 9 6 3
C3.C3.C3.C3 = 220.84.20.1 = 369.600
los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores reciban dos libros cada uno.
12 8 4 12!8!4!
C4.C4.C2 = ------------ = 207.900
8!4!4!4!2!2!
8.- Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección si no hay restricciones?
20 20 !
C12 = ----- = 125.970
12!8!
9.- Resolver el siguiente sistema.
20 20
Ca + Ca-1 = 21
n n-1 n-2 12
Ca+1 - Ca - Ca = ------
Pa + 1
20 20
Ca + Ca-1 = 21
--------- --> Stieffel
21 m
Ca = 21 => a = 1 pues C1 = m
n n-1 n-2 12
C2 - C1 - C1 = --- = 6
--------- 2 --> Stieffel
n-1 n-2
C2 - C1 = 6
----------- --> Stieffel
n-2
C2 = 6
(n-2)(n-3) = 12
n2 - 5n + 6 = 12
n2 - 5n - 6 = 0
_______ 6
5 + \|25 + 24 5 + 7 /
n = --------------- = ------- =
2 2 \
-1
n = 6
10.- Resolver el siguiente sistema:
x x+1
4Cy = Cy+1
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
x x+1
4Cy = Cy+1
4x! (x+1)!
------- = ---------------
y!(x-y)! (y+1)!(x+1-y-1)!
4x!(y+1)!(x-y)! = (x+1)!y!(x-y)!
4(y+1) = (x+1)
x = 4y + 4 - 1
x = 4y + 3 (1)
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
=> Hay dos posibilidades:
3y + 1 = 12y - 1 => 9y = 2 => y = 9/2
No, pues y debe ser entero
3y + 1 + 12y - 1 = 3x => 15y = 3x => 5y = x (2)
De 1) y 2) 5y = 4y + 3
y = 3
x = 15
11.- ¿Cuántas manos diferentes le pueden tocar a un jugador de poker?
Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.
Es necesario considerar la conformación de dos equipos: El primer equipo se puede formar de 6C14 maneras, pues se pueden elegir 6 jugadoras diferentes de entre 14 disponibles; el segundo equipo se puede formar de 6C8 maneras, pues ahora se eligen 6 jugadoras de entre las 8 mujeres que quedan disponibles.
El producto de estas dos combinaciones, invocando el principio fundamental del conteo, proporciona el número de partidos que pueden realizarse, pero cada uno de ellos está considerado dos veces, pues una misma sexteta puede pertenecer a ambas combinaciones; el problema se resuelve dividiendo el producto de las dos combinaciones, entre las permutaciones de los 2 equipos:
13.- A una reunión acuden 10 personas. Si se saludan con apretones de manos entre ellos, ¿Cuántos apretones se producen?
Resolución:
Cada apretón es una combinación de 2 en 2 de las 10 personas.
14.- Uniendo 3 vértices de un hexágono regular, ¿Cuántos triángulos diferentes se obtienen?
Resolución:
Cada triangulo se obtiene combinando 3 vértices de los 6 que tiene el hexágono.
15.- En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
17.- Calcula el número de boletos de Lotería Primitiva que es necesario rellenar para que te toque el primer premio con toda probabilidad (Hay que acertar 6 números de un total de 49).
Solución:
Hay que calcular el número de grupos diferentes de 6 números de entre 49 diferentes. En otras palabras, tenemos que calcular las combinaciones de 49 elementos tomados de 6:
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87) 68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
2.- Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?
Solución:
3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.
3.- La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as es:
Solución:
Los casos favorables a obtener un as son 4.
Los casos totales o posibles de extraer son 52 (puede salir cualquier carta).
Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
14/52 = 1/13
4.- En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es:
Solución:
Hay un total de 32 infantes. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
p = 12/32 = 3/8
5.- Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es:
Solución:
No importa lo que ocurra en los dos últimos lanzamientos. Es sólo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 1/2
6.- Se lanzó un dado dos veces y en ambas oportunidades se obtuvo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se vuelva a obtener 4?
Solución:
La probabilidad de obtener 4 en un lanzamiento de dado, que contiene seis caras posibles es 1/6.
Como falta un solo lanzamiento, la probabilidad de obtener cualquier número en un lanzamiento es 1/6.
7.- Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la probabilidad de que la segunda sea cara es:
Solución:
No se solicita nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la segunda moneda. El segundo lanzamiento –como cualquier otro, tiene dos resultados posibles, cara o sello. De los cuáles uno de ellos es favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 1/2
8.- Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el número de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:
Solución:
Dan lo mismo los resultados del segundo y tercer lanzamiento. Sólo interesa obtener 4 en el primero.
Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad pedida es:
p = 1/6
9.- La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:
Solución:
Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 4/6 = 2/3
10.- Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par, menor que 5?
Solución:
Sea A ≡ Obtener un número par menor que 5 = {2, 4} ⇒ #A = 2. La probabilidad pedida es
p = 2/6
11.- Se lanza un dado y se obtiene 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que, sumado con 2, sea inferior a 6?
Solución:
Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero los que favorecen una suma con 2, inferior a 6 son: 1, 2, 3. Es decir, tenemos 3 casos favorables.
La probabilidad pedida es
p = 3/6 = 1/2
12.- De 25 televisores que se fabrican, 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?
Solución:
Si de 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso, entonces, la probabilidad de escoger uno defectuoso es
p = 1/25
Independiente de la cantidad de televisores que halla, la probabilidad es siempre la misma.
Lo que cambia con la cantidad de la muestra es el número de televisores que se espera que estén defectuosos, que sería en tal caso:
1/25•100 = 4 televisores.
13.- Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro”
es:
Solución:
Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es p = 30/40
14.- Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:
Solución:
5 es un número primo, es decir, sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Es decir, hay dos casos favorables, de un total de 5 bolas numeradas y posibles de extraer. Entonces, la probabilidad pedida es
p = 2/5
15.- La probabilidad de que al hacer rodar un dado, salga un número primo es:
Solución:
Los casos o resultados posibles al lanzar el dado son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esto es, seis casos totales.
Los casos favorables a obtener un número primo (divisible solo por 1 y por sí mismo) son: 2, 3, 5. Esto es, tres casos. Por lo tanto,
p = 3/6 = 1/2
16.- Se hacer rodar 2 veces un dado común y se considera la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par. La probabilidad que la suma sea mayor que 7 es:
Solución:
Constando de 36 casos posibles. Para hallar los casos favorables, hay que buscar entre los casos posibles aquellos que comiencen con un número par y cuya suma con el otro resultado sea mayor que 7: {(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (4,4), (4,5), (4,6), (2,6)}. Totalizando 9 casos favorables.
Entonces, la probabilidad pedida es
p = 9/36 =1/4
17.- Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que los números presenten una diferencia de 2 unidades?
Solución:
Se tiene 36 resultados posibles al lanzar dos dados. Los casos favorables son: {(6,4), (5,3), (4,2), (4,6), (3,1), (3,5), (2,4), (1,3)} ⇒ #casos favorables = 8.
P(diferencia de 2 números) = 8/36 = 2/9
18.- La probabilidad de que al hacer rodar dos dados de seis caras, numeradas del 1 al 6, el valor absoluto de la diferencia entre los números obtenidos sea mayor que 1 es:
Solución:
Al lanzar un solo un dado tenemos 6 casos resultados posibles. Al lanzar dos dados, los resultados posibles son 6 • 6 = 36. Hay que intuir que los casos favorables son numerosos, por eso vamos a ver primero el evento complementario. Los casos en que la diferencia en valor absoluto (independiente del signo de tal diferencia) entre los dos números, sea menor o igual a 1 son: {(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4)} es decir, 20 casos.
Luego, la probabilidad del evento pedido es:
p = 20/36 = 5/9
19.- Si lanzamos dos dados honestos –no cargados, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia de los puntos sea igual a cero?
Solución
Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral. E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ #E’ = 6 resultados posibles. Al lanzar dos dados, las combinaciones de resultados posibles es #E = E’2 = 62 = 36. Para que la diferencia sea cero, los resultados en los dos dados deben ser iguales {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} son 6 casos favorables.
Luego la probabilidad pedida es
p = 6/36
20.- Un animador de concurso lanza un par de dados y registra la suma de sus caras en una pantalla. Si el concursante obtiene una suma mayor, gana, de lo contrario, pierde. Si en cierta ocasión, el animador obtuvo una suma de 5, ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante pierda?
Solución:
Para que el concursante pierda, debe obtener una suma menor o igual a 5. La pareja de resultados que suman menos que 5 son: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} Habiendo 10 casos favorables. Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral. E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ #E’ = 6 resultados posibles. Al lanzar dos dados, las combinaciones de resultados posibles es #E = E’2 = 62 = 36. La probabilidad de que pierda entonces es:
p = 10/36
Esta regla expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.
Pueden ocurrir dos formas: que el segundo suceso depende del primero o que ninguno dependa del otro, por lo tanto veremos estas dos formas:
NOTA: Si observas esta regla, puedes darte cuenta que se relaciona fuertemente con la Intersección entre conjuntos ( y ), es una multiplicación.
Ejemplo 1: Se sacan dos cartas sin restitución ( se saca la primera se observa y no se vuelve a meter ) de una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes ?
Sea R = sacar un rey
Observe que lo que necesitamos es la probabilidad de sacar un rey en la primera carta y un rey en la segunda, es decir:
Ejemplo 2: Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones ?
Sea C = carta de corazones
NOTA: Observa que la probabilidad del segundo suceso no se ve afectada por la probabilidad del primero.
Ejemplo:
Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
Ejemplo:
Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) ----- si A y B son mutuamente excluyentes
P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B) --------- si A y B son no excluyentes
Siendo:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento
AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento
BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
* Evento mutuamente excluyente:
Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
b) La primera bola no se devuelve.
Solución
a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }
b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)
Observemos que en el caso a) el experimento es con repetición.
2.- Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.
Solución
a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.
E: espacio muestral, de 20 elementos.
P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad).
b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos
Bc: extraer uba bola al azar que NO sea verde.
P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)
3.- Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con reemplazo, b) sin reemplazo
Solución:
R: extraer bola roja B: extraer bola blanca
E = { RR, RB, BR, BB }
a) Con reemplazoRR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) = (3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) = (3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R cuando hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) = (7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
b) Sin reemplazoRR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) = (3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) = (3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) = (7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) = (7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
4.- Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
Solución
R: extraer bola roja B: extraer bola blanca
R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)
Bc: NO extraer bola blanca, P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)
5.- En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio.
Solución
H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3
M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3
P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M)
6.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución
a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés
Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24
g) De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b)Describe los sucesos:
A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.
c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.
Solución
a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}.
B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.
C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}
c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10
B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10
7.- Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución
a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada)
b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen elementos comunes)
c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52.
d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes)
8.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución
A: les gusta ver la tele B: les gusta leer
P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120
a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)
9.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
Solución
Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de Probablidad).
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
10.- Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Solución
Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ... (5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad)
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
11.- Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
Solución
a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.
b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7.
12.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?
Solución
El espacio muestral tiene 62 = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6.
13.- Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Las caras obtenidas sumen 7.
Solución
a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.
b) El espacio muestral tiene 63 = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.
14.- Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Solución
El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.
A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}
B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común).
15.- En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si:
a) se saca una papeleta,
b) se sacan dos papeletas,
c) se sacan tres papeletas.
Solución
Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y Bj el suceso de sacar "j" papeletas blancas.
P(A1) = 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.
P(A2) = 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.
P(A3) = 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.
16.- Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen
Solución
P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5.
17.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
Solución
P(al menos un tema) = 1 - P(ningún tema) = 1 - (10/25)(9/24) = 1 - 3/20 = 17/20.
18.- Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
Solución
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)
Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.
19.- Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
Solución
a) P(hs) = 20/120 = 1/6.
b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.
20.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular:
a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.
En gran número de problemas prácticos, los eventos de mayor interés son aquellos cuya ocurrencia está condicionada a la ocurrencia de otro evento. De aquí que interese introducir el concepto de probabilidad condicional, esto es, la probabilidad condicionada a que haya ocurrido o pudiese ocurrir cierto evento.
Invocando el criterio de Laplace y apoyándose en el diagrama anterior, puede verse que si el evento B se da por hecho, entonces el espacio muestral condicional es el evento B, constituido por N(B) puntos muestrales, que representan el número de casos posibles; para la ocurrencia del evento A es necesaria la ocurrencia conjunta A
B , Un evento constituido por N (AB) puntos muestrales, que representan el número de casos favorables a A.
La probabilidad de ocurrencia del evento A, dado que el evento B ocurre, lo cual se expresa con la notación P (A|B) está dada por:
Así fue utilizado el concepto de probabilidad condicional por los primeros estudiosos de la probabilidad. El gran mérito de Thomas Bayes consistió
en haber expresado la probabilidad condicional en función de la probabilidad
conjunta:
Esto es, la probabilidad de A, dado B, defi nida como la razón de la probabilidad conjunta a la probabilidad del evento B.
Nótese que, en general:
, ya que 
.
Las probabilidades condicionales también cumplen con los tres axiomas de probabilidad y con los teoremas derivados de éstos. Se deja al lector la tarea de demostrarlos.
Se denomina probabilidad marginal a la probabilidad de cualquier evento, para distinguir que es incondicional, que no importa la ocurrencia de ningún otro evento.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:
a) Las dos sean copas.
b) Al menos una sea copas.
c) Una sea copa y la otra espada.
2.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
3.- Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés?
b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
4.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
a) Juegue sólo al fútbol.
b) Juegue sólo al baloncesto.
c) Practique uno solo de los deportes.
d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
5.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
d) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
6.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
7.- En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:
b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?
8.- Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
9.- Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
a) Seleccionar tres niños.
b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c) Seleccionar por lo menos un niño.
d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
10.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:
a) Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11.- Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:
a) Con una persona sin gafas.
b) Con una mujer con gafas.
12.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
13.- Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.
14.- Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:
a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.
b) Probabilidad de que la bola sea blanca.
15.- Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
16.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
17.- En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?
18.- En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?
19.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
Referencias:
http://www.amschool.edu.sv/paes/e6.htm
http://dcb.fi-c.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE15.pdf
http://hp.fciencias.unam.mx/lytc/tc/#2
No entran todos los elementos.
No se repiten los elementos.
9.- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
10.- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
11.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
12.- ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.13.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
14.- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
15.- ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra JUAN? b) ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal?
a) Tenemos 4 elementos y nos piden de cuántas formas podemos ordenarlos. No hay repetición de elementos, el orden si importa y en la ordenación están todos los elementos. Se trata, por lo tanto, de permutaciones de 4 elementos (o dicho de otro modo: variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 4 en 4):
P 4! 4 3 2 1 24 4 = = ⋅ ⋅ ⋅ =
b) Para U _ _ _ , las ordenaciones son P 3! 6 3 = = y para A _ _ _ las ordenaciones son P 3! 6 3 = = . Entonces las ordenaciones que empiezan por vocal son las suma de las dos, es decir, 12.
16.- ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 3224531?
Solución:
El orden influye, luego no son combinaciones. En los grupos que se
forman están todos los elementos. Así que tenemos permutaciones. Y
como hay dígitos repetidos, las permutaciones son con repetición.
Entonces:
2,2,1,1,1 P 7 = 1260
17.- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.
18.- ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e quede junto a otra?
e _ e _ e _ e _ e
P4 = 4! = 24
19.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?
Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la permutación VI1SI2TI3NG sería distinta de VI2SI1TI3NG. Pero esto no es lo que queremos, en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las tres I pueden ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces.
Por lo tanto hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes.
20.- Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física, ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?
P 15 = 15! = 1, 307, 674, 368, 000 maneras.
COMBINACIONES
de colocación carece de importancia, a la disposición de dichos elementos se le denomina
combinación.
Por lo tanto, una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un
conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos.
El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que
pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es:
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?
Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los
elementos no es importante.
2.- En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
3.- Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen?
Existen
10 10! 10.9.8
C7 = --- = ------ = 120
7!3! 3.2.1
combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.
4.- Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
Hay
20 20!
C11 = ---- = 167.960
11!9!
formas de elegir a los 11 amigos.
5.- En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden intercambiarse, si entre cada 2 personas, se dan la mano una sola vez?
6 6! 6.5
C2 = ---- = --- = 15
2!4! 2
6.- Una persona que sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer: dispone de 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas formas puede hacer la elección si quiere llevar al menos una novela?
6
N C C C --> 4C3 = 80
4 6
N N C C --> C2C2 = 90
4
N N N C --> C36 = 24
N N N N --> 1
80 + 90 + 24 + 1 = 195
¿Cuántos bytes contienen
exactamente dos unos?
8 8!
C2 = --- = 28
2!6!
Ejemplo: 1 0 0 1 0 0 0 0
exactamente cuatro unos?
8 8!
C4 = --- = 70
4!4!
Ejemplo: 0 1 0 1 0 1 1 0
exactamente seis unos?
8 8!
C2 = --- = 28
6!2!
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 0 1
al menos seis unos?
8
28 + C7 + 1 = 28 + 8 + 1 = 37
(Sumamos los bytes con 6 unos, los
bytes con 7 unos y el byte con 8 unos)
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 1 1
7.- ¿De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro niños de modo que cada niño reciba tres libros.
12 9 6 3
C3.C3.C3.C3 = 220.84.20.1 = 369.600
los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores reciban dos libros cada uno.
12 8 4 12!8!4!
C4.C4.C2 = ------------ = 207.900
8!4!4!4!2!2!
8.- Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección si no hay restricciones?
20 20 !
C12 = ----- = 125.970
12!8!
9.- Resolver el siguiente sistema.
20 20
Ca + Ca-1 = 21
n n-1 n-2 12
Ca+1 - Ca - Ca = ------
Pa + 1
20 20
Ca + Ca-1 = 21
--------- --> Stieffel
21 m
Ca = 21 => a = 1 pues C1 = m
n n-1 n-2 12
C2 - C1 - C1 = --- = 6
--------- 2 --> Stieffel
n-1 n-2
C2 - C1 = 6
----------- --> Stieffel
n-2
C2 = 6
(n-2)(n-3) = 12
n2 - 5n + 6 = 12
n2 - 5n - 6 = 0
_______ 6
5 + \|25 + 24 5 + 7 /
n = --------------- = ------- =
2 2 \
-1
n = 6
10.- Resolver el siguiente sistema:
x x+1
4Cy = Cy+1
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
x x+1
4Cy = Cy+1
4x! (x+1)!
------- = ---------------
y!(x-y)! (y+1)!(x+1-y-1)!
4x!(y+1)!(x-y)! = (x+1)!y!(x-y)!
4(y+1) = (x+1)
x = 4y + 4 - 1
x = 4y + 3 (1)
3x 3x
C3y+1 = C12y-1
=> Hay dos posibilidades:
3y + 1 = 12y - 1 => 9y = 2 => y = 9/2
No, pues y debe ser entero
3y + 1 + 12y - 1 = 3x => 15y = 3x => 5y = x (2)
De 1) y 2) 5y = 4y + 3
y = 3
x = 15
11.- ¿Cuántas manos diferentes le pueden tocar a un jugador de poker?
Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.
12.- . Si en el grupo 20 de “Probabilidad” hay 14 estudiantes mujeres, ¿cuántos partidos diferentes de voleibol se podrían realizar, si cada equipo es de 6 jugadoras?
El producto de estas dos combinaciones, invocando el principio fundamental del conteo, proporciona el número de partidos que pueden realizarse, pero cada uno de ellos está considerado dos veces, pues una misma sexteta puede pertenecer a ambas combinaciones; el problema se resuelve dividiendo el producto de las dos combinaciones, entre las permutaciones de los 2 equipos:
Resolución:
Cada apretón es una combinación de 2 en 2 de las 10 personas.
Resolución:
Cada triangulo se obtiene combinando 3 vértices de los 6 que tiene el hexágono.
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de 3 en tres:
16.- ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con dos elementos tomados del conjunto C a,b,c,d,e,f ={ }? Escribe las combinaciones posibles.
Solución:
Tenemos que hallar el número de combinaciones del conjunto de seis elementos tomados de dos en dos:
17.- Calcula el número de boletos de Lotería Primitiva que es necesario rellenar para que te toque el primer premio con toda probabilidad (Hay que acertar 6 números de un total de 49).
Solución:
Hay que calcular el número de grupos diferentes de 6 números de entre 49 diferentes. En otras palabras, tenemos que calcular las combinaciones de 49 elementos tomados de 6:
18.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
19.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
20.- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
21.- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
22.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
23.- ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son , a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
24.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
25.- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
Probabilidad simple
Es la
probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.
Es
cuando se analiza una sola característica.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87) 68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
2.- Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?
Solución:
3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.
3.- La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as es:
Solución:
Los casos favorables a obtener un as son 4.
Los casos totales o posibles de extraer son 52 (puede salir cualquier carta).
Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
14/52 = 1/13
4.- En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es:
Solución:
Hay un total de 32 infantes. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
p = 12/32 = 3/8
5.- Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es:
Solución:
No importa lo que ocurra en los dos últimos lanzamientos. Es sólo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 1/2
6.- Se lanzó un dado dos veces y en ambas oportunidades se obtuvo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se vuelva a obtener 4?
Solución:
La probabilidad de obtener 4 en un lanzamiento de dado, que contiene seis caras posibles es 1/6.
Como falta un solo lanzamiento, la probabilidad de obtener cualquier número en un lanzamiento es 1/6.
7.- Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la probabilidad de que la segunda sea cara es:
Solución:
No se solicita nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la segunda moneda. El segundo lanzamiento –como cualquier otro, tiene dos resultados posibles, cara o sello. De los cuáles uno de ellos es favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 1/2
8.- Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el número de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:
Solución:
Dan lo mismo los resultados del segundo y tercer lanzamiento. Sólo interesa obtener 4 en el primero.
Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad pedida es:
p = 1/6
9.- La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:
Solución:
Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 4/6 = 2/3
10.- Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par, menor que 5?
Solución:
Sea A ≡ Obtener un número par menor que 5 = {2, 4} ⇒ #A = 2. La probabilidad pedida es
p = 2/6
11.- Se lanza un dado y se obtiene 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que, sumado con 2, sea inferior a 6?
Solución:
Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero los que favorecen una suma con 2, inferior a 6 son: 1, 2, 3. Es decir, tenemos 3 casos favorables.
La probabilidad pedida es
p = 3/6 = 1/2
12.- De 25 televisores que se fabrican, 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?
Solución:
Si de 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso, entonces, la probabilidad de escoger uno defectuoso es
p = 1/25
Independiente de la cantidad de televisores que halla, la probabilidad es siempre la misma.
Lo que cambia con la cantidad de la muestra es el número de televisores que se espera que estén defectuosos, que sería en tal caso:
1/25•100 = 4 televisores.
13.- Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro”
es:
Solución:
Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es p = 30/40
14.- Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:
Solución:
5 es un número primo, es decir, sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Es decir, hay dos casos favorables, de un total de 5 bolas numeradas y posibles de extraer. Entonces, la probabilidad pedida es
p = 2/5
15.- La probabilidad de que al hacer rodar un dado, salga un número primo es:
Solución:
Los casos o resultados posibles al lanzar el dado son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esto es, seis casos totales.
Los casos favorables a obtener un número primo (divisible solo por 1 y por sí mismo) son: 2, 3, 5. Esto es, tres casos. Por lo tanto,
p = 3/6 = 1/2
16.- Se hacer rodar 2 veces un dado común y se considera la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par. La probabilidad que la suma sea mayor que 7 es:
Solución:
Constando de 36 casos posibles. Para hallar los casos favorables, hay que buscar entre los casos posibles aquellos que comiencen con un número par y cuya suma con el otro resultado sea mayor que 7: {(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (4,4), (4,5), (4,6), (2,6)}. Totalizando 9 casos favorables.
Entonces, la probabilidad pedida es
p = 9/36 =1/4
17.- Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que los números presenten una diferencia de 2 unidades?
Solución:
Se tiene 36 resultados posibles al lanzar dos dados. Los casos favorables son: {(6,4), (5,3), (4,2), (4,6), (3,1), (3,5), (2,4), (1,3)} ⇒ #casos favorables = 8.
P(diferencia de 2 números) = 8/36 = 2/9
18.- La probabilidad de que al hacer rodar dos dados de seis caras, numeradas del 1 al 6, el valor absoluto de la diferencia entre los números obtenidos sea mayor que 1 es:
Solución:
Al lanzar un solo un dado tenemos 6 casos resultados posibles. Al lanzar dos dados, los resultados posibles son 6 • 6 = 36. Hay que intuir que los casos favorables son numerosos, por eso vamos a ver primero el evento complementario. Los casos en que la diferencia en valor absoluto (independiente del signo de tal diferencia) entre los dos números, sea menor o igual a 1 son: {(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4)} es decir, 20 casos.
Luego, la probabilidad del evento pedido es:
p = 20/36 = 5/9
19.- Si lanzamos dos dados honestos –no cargados, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia de los puntos sea igual a cero?
Solución
Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral. E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ #E’ = 6 resultados posibles. Al lanzar dos dados, las combinaciones de resultados posibles es #E = E’2 = 62 = 36. Para que la diferencia sea cero, los resultados en los dos dados deben ser iguales {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} son 6 casos favorables.
Luego la probabilidad pedida es
p = 6/36
20.- Un animador de concurso lanza un par de dados y registra la suma de sus caras en una pantalla. Si el concursante obtiene una suma mayor, gana, de lo contrario, pierde. Si en cierta ocasión, el animador obtuvo una suma de 5, ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante pierda?
Solución:
Para que el concursante pierda, debe obtener una suma menor o igual a 5. La pareja de resultados que suman menos que 5 son: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} Habiendo 10 casos favorables. Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral. E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ #E’ = 6 resultados posibles. Al lanzar dos dados, las combinaciones de resultados posibles es #E = E’2 = 62 = 36. La probabilidad de que pierda entonces es:
p = 10/36
Probabilidad conjunta
Esta regla expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.
Pueden ocurrir dos formas: que el segundo suceso depende del primero o que ninguno dependa del otro, por lo tanto veremos estas dos formas:
Para sucesos dependientes:
Ejemplo 1: Se sacan dos cartas sin restitución ( se saca la primera se observa y no se vuelve a meter ) de una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes ?
Sea R = sacar un rey
Observe que lo que necesitamos es la probabilidad de sacar un rey en la primera carta y un rey en la segunda, es decir:
Para sucesos independientes:
Ejemplo 2: Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones ?
Sea C = carta de corazones
Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).Ejemplo:
Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
Ejemplo:
Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Reglas de la Adición
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) ----- si A y B son mutuamente excluyentes
P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B) --------- si A y B son no excluyentes
Siendo:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento
AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento
BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
* Evento mutuamente excluyente:
Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
b) La primera bola no se devuelve.
Solución
a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }
b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)
Observemos que en el caso a) el experimento es con repetición.
2.- Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.
Solución
a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.
E: espacio muestral, de 20 elementos.
P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad).
b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos
Bc: extraer uba bola al azar que NO sea verde.
P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)
3.- Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con reemplazo, b) sin reemplazo
Solución:
R: extraer bola roja B: extraer bola blanca
E = { RR, RB, BR, BB }
a) Con reemplazoRR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) = (3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) = (3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R cuando hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) = (7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
b) Sin reemplazoRR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) = (3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) = (3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) = (7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) = (7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
4.- Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
Solución
R: extraer bola roja B: extraer bola blanca
R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)
Bc: NO extraer bola blanca, P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)
5.- En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio.
Solución
H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3
M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3
P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M)
6.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución
a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés
Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24
g) De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b)Describe los sucesos:
A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.
c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.
Solución
a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}.
B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.
C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}
c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10
B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10
7.- Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución
a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada)
b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen elementos comunes)
c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52.
d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes)
8.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución
A: les gusta ver la tele B: les gusta leer
P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120
a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)
9.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
Solución
Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de Probablidad).
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
10.- Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Solución
Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ... (5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad)
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
11.- Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
Solución
a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.
b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7.
12.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?
Solución
El espacio muestral tiene 62 = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6.
13.- Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Las caras obtenidas sumen 7.
Solución
a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.
b) El espacio muestral tiene 63 = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.
14.- Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Solución
El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.
A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}
B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común).
15.- En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si:
a) se saca una papeleta,
b) se sacan dos papeletas,
c) se sacan tres papeletas.
Solución
Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y Bj el suceso de sacar "j" papeletas blancas.
P(A1) = 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.
P(A2) = 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.
P(A3) = 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.
16.- Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen
Solución
P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5.
17.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
Solución
P(al menos un tema) = 1 - P(ningún tema) = 1 - (10/25)(9/24) = 1 - 3/20 = 17/20.
18.- Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
Solución
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)
Hombre
|
Mujer
|
Total
| |
Ojos castaños
|
5
|
10
|
15
|
Total
|
10
|
20
|
30
|
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.
19.- Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
Solución
Hombre
|
Mujer
|
Total
| |
Casados
|
35
|
45
|
80
|
Solteros
|
20
|
20
|
40
|
Total
|
55
|
65
|
120
|
b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.
20.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular:
a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
Solución
Electricidad
|
Mecánica
|
Chapa
|
Total
| |
Mañana
|
3
|
8
|
3
|
14
|
Tarde
|
2
|
3
|
1
|
6
|
Total
|
5
|
11
|
4
|
20
|
a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.
Probabilidad condicionada
En gran número de problemas prácticos, los eventos de mayor interés son aquellos cuya ocurrencia está condicionada a la ocurrencia de otro evento. De aquí que interese introducir el concepto de probabilidad condicional, esto es, la probabilidad condicionada a que haya ocurrido o pudiese ocurrir cierto evento.
Invocando el criterio de Laplace y apoyándose en el diagrama anterior, puede verse que si el evento B se da por hecho, entonces el espacio muestral condicional es el evento B, constituido por N(B) puntos muestrales, que representan el número de casos posibles; para la ocurrencia del evento A es necesaria la ocurrencia conjunta A
B , Un evento constituido por N (AB) puntos muestrales, que representan el número de casos favorables a A.La probabilidad de ocurrencia del evento A, dado que el evento B ocurre, lo cual se expresa con la notación P (A|B) está dada por:
Así fue utilizado el concepto de probabilidad condicional por los primeros estudiosos de la probabilidad. El gran mérito de Thomas Bayes consistió
en haber expresado la probabilidad condicional en función de la probabilidad
conjunta:
Esto es, la probabilidad de A, dado B, defi nida como la razón de la probabilidad conjunta a la probabilidad del evento B.
Nótese que, en general:
, ya que .Las probabilidades condicionales también cumplen con los tres axiomas de probabilidad y con los teoremas derivados de éstos. Se deja al lector la tarea de demostrarlos.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:
a) Las dos sean copas.
b) Al menos una sea copas.
c) Una sea copa y la otra espada.
2.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
3.- Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés?
b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
4.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
a) Juegue sólo al fútbol.
b) Juegue sólo al baloncesto.
c) Practique uno solo de los deportes.
d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
5.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
d) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
6.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
7.- En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?
8.- Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
9.- Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
a) Seleccionar tres niños.
b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c) Seleccionar por lo menos un niño.
d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
10.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:
a) Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11.- Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:
a) Con una persona sin gafas.
b) Con una mujer con gafas.
12.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
13.- Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.
14.- Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:
a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.
b) Probabilidad de que la bola sea blanca.
15.- Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
16.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
17.- En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?
18.- En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?
19.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
Referencias:
http://www.amschool.edu.sv/paes/e6.htm
http://dcb.fi-c.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE15.pdf
http://hp.fciencias.unam.mx/lytc/tc/#2
http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/tecnicas%20de%20conteo.pdf
http://matematica.50webs.com/ejercicios-de-conteo.html
http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf
http://matematicasjjp.webcindario.com/combinatoria_resueltos.pdf
http://www.vitutor.com/pro/1/a_c.html
http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta.htm
http://www.vitutor.com/pro/2/a_h.html
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http://www.vitutor.com/pro/2/a_h.html
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