Conceptos básicos de Probabilidad
Definición de Probablilidad (Kolmogorov 1933)
Sea S un conjunto con cierto número de elementos (espacio de
muestras)
Sean A,B,…. Subconjutos de S:
Para todo subconjuto A de S puede definirse un número real P(A) al
que llamaremos probabilidad a partir de los siguientes tres axiomas:
∀A ⊂ S→ P(A) ≥ 0
Si A∩ B = 0→ P(A∪ B) = P(A)+ P(B)
P(S) =1
Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.
- Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada.
Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante. - Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.
Técnicas de Conteo
Para determinar el espacio muestral o el tamaño del espacio muestral, es necesario desarrollar
algunas técnicas de enumeración las cuales son:
- El Diagrama de Árbol
- Análisis Combinatorio.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas
de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un
método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.
A continuación, se presenta un Diagrama de Árbol, referente a las respuestas que se pueden dar a
tres preguntas de Verdadero o Falso.
Tenemos dos opciones posibles para cada pregunta, V o F el árbol presenta dos ramas en cada
pregunta.
1) La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor.
a) V b) F
2) G. Cantor es de origen francés.
a ) V b) F
3) La teoría de conjuntos sirve para simplificar la Estadística.
a) V b) F
Las diferentes formas en que se puede contestar son ocho y forman el espacio muestral.
S = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}
ANÁLISIS COMBINATORIO
Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puede
disponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues a
medida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar
otro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados. Con este fin, nos
apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el
principio fundamental del conteo.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede
ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos
eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.
El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es
decir, sea n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.
n! = n (n -1 ) (n -2 )...3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n1 x n2 x n3
10 x 9 x 8 = 720
